Конечная математика Примеры

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) = \log_{7} (24)$

Этап 1

Вычтем $\log_{7} (24)$ из обеих частей уравнения.

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24) = 0$

Этап 2

Упростим $\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (x (x - 2)) - \log_{7} (24) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{x (x - 2)}{24}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$ .

$\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $24$ .

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $24 \frac{x (x - 2)}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Этап 4.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x - 2) = 24 \cdot 7^{0}$

Этап 4.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Этап 4.3.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Этап 4.3.1.1.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 7^{0}$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим $24 \cdot 7^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $24$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24$

Этап 4.4

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} - 2 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 2$ .

$- 6, 4$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.8

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 6, - 4$